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Dispersion Characteristics of Cylindrical Shells Submerged in the Fluid
Dispersion Characteristics of Cylindrical Shells Submerged in the Fluid
Transactions of the Korean Society for Noise and Vibration Engineering. 2015. Aug, 25(8): 575-582
Copyright © 2015, The Korean Society for Noise and Vibration Engineering
  • Received : May 29, 2015
  • Accepted : July 09, 2015
  • Published : August 20, 2015
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About the Authors
병규 정
Member, School of Mechanical Engineering, Pusan National University
진숙 홍
Corresponding Author ; Member, School of Mechanical Engineering, Ulsan College E-mail :cshong@uc.ac.kr
정수 유
Member, School of Naval Architecture and Ocean Engineering, University of Ulsan
의봉 정
Member, School of Mechanical Engineering, Pusan National University
구균 신
Agency for Defence Development

Abstract
This paper deals with the dispersion relation of the waves sustained in a cylindrical shell submerged in the fluid. The waveguide finite method and the boundary element method are used to predict the dispersion characteristic of the cylindrical shell. The dispersion diagram of the cylinder is estimated from the eigenvalue problem and the forced vibration response. It follows that the water-loading leads to the decrease of the cut-on frequencies and the phase speeds of the bending waves. On the contrary, the longitudinal waves and the torsional waves are hardly affected by the fluid, and therefore the order of the cut-on frequencies of the waves is changed. The acoustic dispersion diagram is also estimated from the forced acoustic response to identify the characteristics of the wave radiated to the fluid. It follows that the acoustic waves on and near the surface of the cylinder are the same as those in the structure. But at the far field the acoustic waves caused by subsonic waves e.g., the bending waves disappear as the increase of the distance. Conclusively, the characteristics of waves in cylindrical shells are significantly affected by water-loading in terms of the cut-on frequency, the wave speed, the order of the cut-on and radiation.
Keywords
1. 서 론
원통형 실린더 구조물은 해양 풍력 구조물, 원자로, 비행기 동체, 수중 몰수체 등 다양한 산업 분야에서 사용된다. 이러한 원통형 실린더 구조물은 대부분 유체에 의해 외압 또는 내압을 받는 형태로 활용되는데, 구조물 주변의 유체는 부가 질량 효과로 작용하여 원통형 실린더의 동적 특성을 변화시킨다. 이에 따라 유체가 연성된 원통형 실린더 해석에 관한 연구가 많은 연구자들에 의해 다양하게 수행되어 왔다 (1~3) . 그러나 원통형 실린더의 고유진동수 변화와 방사특성의 관점에서 주변 유체의 효과를 분석한 연구가 대부분이며, 원통형 실린더 내 존재하는 탄성파의 관점에서 유체 효과를 분석한 연구 사례는 드물다. 이에 이 연구에서는 원통형 실린더 외부의 유체가 변화시키는 탄성파의 분산특성에 관하여 다루고자 한다.
이 논문에서는 접수 유무에 따른 원통형 실린더의 파동해석을 수행하기 위해 도파관 유한요소법(waveguide finite element method) (4) 와 파수 경계요소법(waveguide boundary element method) (5) 을 바탕으로 하는 WFE/BE 프로그램을 사용하였다. 도파관 유한요소법은 탄성파 전파 및 진동 해석을 효과적으로 해석하는 기법으로 도파관 단면의 진동모드가 길이방향으로 무한히 전파한다고 가정한다. 이에 2차원 단면만을 유한요소로 모델링하고 길이방향의 전파는 e−jkx 를 이용하여 표현한다. 파수경계요소법은 도파관 주위를 둘러싼 외부 유체의 방사현상을 표현하는 데에 적합한 수치해석방법으로 도파관 유한요소법과 동일하게 단면만을 모델링하고 길이방향의 파수를 고려한 운동방정식을 사용한다. 도파관 유한요소법과 파수경계요소법은 이론적으로 풀기 어려운 문제나 형상이 복잡한 구조물에 대해서도 적용이 가능하여 Nilsson (6) 과 Finnveden (7) , Ryue (8) , Kim (9) , Jung (10) 등에 의해 다양한 구조물에 대한 파동해석 연구가 수행되었다.
이 논문에서는 도파관 유한요소법과 파수 경계요소법의 지배방정식을 정리하여 나타내었다. 원통형 실린더에 가해지는 접수효과와 파동의 분산특성 변화를 살펴보기 위하여 도파관 유한요소법과 파수경계요소법의 방정식으로부터 공기 중 또는 수중 상태의 분산선도를 추정하였다. 공기 중 상태의 원통형 실린더의 분산선도는 도파관 유한요소 지배방정식의 고유치해석을 통해 산출하였으며, 수중 상태의 원통형 실린더의 분산선도는 파수 경계요소법이 주파수 및 파수의 함수로 정의됨에 따라 고유치해석이 불가능하여 구조물의 특정 지점을 가진하여 얻은 강제진동응답의 공진점으로부터 분산선도를 역으로 추정하였다. 또한 외부 유체의 관점에서 방사되는 음압으로 인한 분산특성을 확인하기 위하여 음향 분산도표를 추가적으로 추정하였으며 구조물과 측정 음압점 사이 거리에 따라서 음향 분산도표가 어떠한 분산특성을 가지는지도 확인하였다.
2. 도파관 유한/경계요소법
- 2.1 도파관 유한요소법
도파관 유한요소법은 단면의 진동모드가 길이방향으로 조화 진동하면서 전파한다고 가정하여 2차원 단면만을 모델링하고 길이방향으로는 이론해를 사용하는 방법이다. 이때 길이방향 전파는 e−jkx 로 표현하는데 여기서 x 는 길이방향 좌표축, κ 는 도파관을 따라 전파하는 파동의 x 방향 파수(wavenumber)를 의미한다.
이 논문에서 다루는 원통형 실린더의 경우에는 WFE의 평판요소를 이용하여 모델링하게 되는데, 이에 대한 WFE 지배방정식은 다음과 같다 (11) .
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여기서 K 4 , K 2 , K 1 그리고 K 0 는 구조물의 강성과 관련된 행렬이고 M 은 질량행렬, ω 는 주파수 그리고 u ( x , t )는 단면의 변위로 아래와 같이 정의된다.
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여기서 U ( κ , ω )는 변위의 진폭을 나타낸다.
- 2.2 파수경계요소법
도파관 구조물이 외부의 무한한 영역의 유체와 접해있는 경우, 외부의 유체를 경계요소(boundary element)로 모델링하여 구조와 유체의 상호작용 현상을 구현할 수 있다. 또한 이를 도파관 유한요소와 결합하면 연성된 구조물의 동적 거동을 해석할 수 있다. WBE의 지배방정식 유도는 참고문헌 (11) 에 기술되어 있으므로 이 절에서는 유도과정을 생략한다. 파수경계요소에 대한 지배방정식은 다음과 같다.
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여기서 p 는 주변 유체의 음압이며 vn 은 입자속도를 의미한다. 그리고 H ( κ , ω )와 G ( κ , ω )는 Green함수의 행렬로 파수 κ 와 주파수 ω 에 의존한다.
- 2.3 도파관 유한요소와 파수경계요소의 연성
유체력과 외력이 고려되는 도파관 구조물의 지배방정식은 아래와 같다.
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여기서 C 1 p 는 유체력이고 Fe 는 외력을 의미하는데 이때 C 1 은 수직방향 성분을 직교좌표계 성분으로 변환하는 행렬로 구조와 유체 사이의 연성 행렬이다. 연성된 방정식을 구하기 위해서는 도파관유한요소와 파수경계요소 사이의 관계를 정의하는 함수가 필요한데 이는 아래와 같다.
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이는 경계면에서 접하는 유체입자와 고체요소의 수직방향 속도가 같음을 의미한다. 위 식에서 C 2 는 직각좌표계의 행렬을 수직방향으로 변환하는 행렬로서 연성행렬 C 1 의 전치행렬(transpose matrix)이다. 식 (4)와 (5)로부터 연성 운동방정식을 구성하면 다음과 같이 정리된다.
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3. 접수 원통형 실린더의 파동해석
이 장에서는 앞서 소개한 WFE/BE 프로그램을 이용하여 외부 유체로 둘러쌓인 원통형 실린더의 진동 및 소음을 해석하고 이를 통해 분산선도를 추정하였다. 그리고 추정된 원통형 실린더의 분산선도로부터 파동을 분석하여 주변 유체가 파동의 전파특성에 미치는 영향을 살펴보았다. 이 연구에 사용된 원통형 실린더 및 물의 물성치는 Table 1 과 같다.
Material properties of structure and fluid
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Material properties of structure and fluid
- 3.1 해석모델
Fig. 1 은 이 연구에서 사용한 접수된 원통형 실린더의 도파관 유한요소, 파수경계요소 모델이다. 도파관 유한요소법과 파수 경계요소법의 경우 2차원 단면만을 모델링하기 때문에 길이방향의 격자는 고려하지 않는다. 이 해석모델의 도파관 유한요소 모델의 경우 평판 요소(plate element)를 이용하여 표현하였으며, 파수 경계요소는 3절점 요소(3 noded element)를이용하여 외부 유체를 표현하였다. 도파관 유한요소 모델의 절점과 요소의 개수는 모두 64개이며, 파수 경계요소 모델의 절점과 요소의 개수는 각각 128개 및 64개로 설정하였다.
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The WFE/BE model of the cylindrical shell
- 3.2 분산선도의 추정방법
분산선도란 임의의 파동이 주파수에 따라 어떤 속도로 전파하는지를 나타낸 그림으로 가로축은 주파수 ω , 세로축은 파수 κ 로 나타난다. 분산선도 상에는 파동의 종류에 따라서는 종파(longitudinal wave)와 비틀림파(torsional wave)는 직선의 형태로, 굽힘파(bending wave)의 경우에는 주파수의 제곱근에 비례하는 곡선의 형태로 나타난다. 이러한 분산선도는 구조물에 존재하는 파동 특성을 이해할 수 있는 지표로 식 (1)의 좌변에 대한 고유치 해석으로부터 계산이 가능하다. 만약 진행파에 대한 파수 κ ( κ > 0) 가 주어진 경우, 식 (1)의 고유치 해석으로부터 특정 파수에 해당하는 구조물의 고유진동수를 계산할 수 있다. 이를 모든 파수( κ > 0)에 대하여 반복적으로 수행을 하면 구조물의 분산선도를 추정할 수 있다. 앞서 설명한 분산선도의 추정법은 주변의 유체와 연성되지 않았을 경우로, 만약 구조물의 주변의 유체와 접하고 있는 경우에는 이와 같은 방법이 불가능하다. 주변의 무한 유체가 연성된 경우의 방정식은 식 (6)로 주변의 유체행렬로 정의되는 H ( κ , ω )와 G ( κ , ω )가 주파수 및 파수의 함수로 고유치해석이 불가능하다. 이에 구조물에 힘을 가하여 얻은 강제 진동응답의 공진으로부터 고유파수 및 고유진동수를 역으로 추정하여 나타내야한다. 그러나 강제 진동응답으로 추정한 분산선도는 가진점 및 응답점의 위치가 단면 모드의 노달 포인트에 존재하는 경우 해당 파동이 나타나지 않는 문제점이 있다. 이에 이 논문에서는 구조물의 적절한 가진점을 찾는 EFI-DPR 방법 (12) 을 이용하여 대부분의 파동이 잘 나타나는 지점을 선정하였다. Fig. 2 는 접수 원통형 실린더의 강제 진동응답을 얻기 위해 EFI-DPR 방법으로 설정한 가진점의 위치를 나타낸 그림이다. (이 연구에서는 가진점과 응답점을 동일한 위치로 설정하였다.)
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The location of the excitation and response point
- 3.3 원통형 실린더의 분산선도
이 절에서는 3.2절에서 설명한 방법을 이용하여 접수에 따른 분산선도를 추정하고 비교하였다. Fig. 3 은 공기 중 상태의 원통형 실린더의 분산선도를 나타나며, Fig. 4 는 접수 상태의 원통형 실린더의 분산선도를 나타낸다. Fig. 5 는 접수와 비접수 상태의 분산선도를 함께 나타낸 그림이다.
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The dispersion curves of the cylindrical shell in the air
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The dispersion curves of the cylindrical shell in the water
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The comparison of the dispersion curves in the air with those in the water
3.2절에서 언급한 바와 같이 Fig. 3 Fig. 4 의 분산선도 상에는 직선의 형태로 나타나는 종파와 비틀림파, 그리고 주파수의 제곱근에 비례하는 곡선의 형태로 나타나는 굽힘파가 보이고 있다. 분산선도의 0 rad/m에 해당하는 파수에서 파동이 발생하는 주파수를 cut-on frequency라고 하는데, cut-on되는 각각의 파동은 Fig. 6 과 같은 특정한 단면의 모드를 가진다. Cut-on frequency에 따라 파동의 차수를 나누었을 때, 원통형 실린더의 저차 굽힘파는 저주파수 대역에서 종파의 형태로 나타나다 주파수가 증가함에 따라 일반적인 굽힘파의 형태로 변화하는 특성을 가진다. Fig. 3 Fig. 4 는 이러한 원통형 실린더의 파동특성도 잘 표현하고 있다.
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The typical mode shapes of the cross-section of the cylindrical shell
Fig. 5 에 보인 분산선도 비교를 통해 외부의 물이 원통형 실린더에 미치는 영향을 3가지로 정리하면 다음과 같다.
첫째는 cut-on frequency의 변화이다. Figs. 3 ~ 5 를 살펴보면 원통형 실린더의 접수 유무에 따라 cut-on frequency가 상당히 많이 변화하는 것을 확인할 수 있다. Table 2 는 접수 유무에 따른 주파수 변화를 조금 더 명확하게 확인하기 위하여 공기 중 또는 수중 상태의 cut-on frequency와 그때에 해당하는 파동의 종류를 표기한 도표이다. Table 2 를 통해 5번째로 cut-on 되는 파동을 살펴보면 공기 중 상태의 원통형 실린더는 32.12 Hz에서 파동이 발생하기 시작한 반면, 수중 상태에서는 14.20 Hz로 파동이 발생함을 확인할 수 있다.
Cut-on frequencies of the cylindrical shell in the air and the water
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Cut-on frequencies of the cylindrical shell in the air and the water
접수에 따른 원통형 실린더의 두 번째 변화는 cut-on 순서의 변화이다. Table 2 의 결과로부터 원통형 실린더가 접수됨에 따라 파동의 cut-on 순서가 변화하는 것을 확인할 수 있다. 파동의 순서의 경우 공기 중 상태에서는 1차 종파(742.30 Hz)가 12차 굽힘파(710.10 Hz)와 13차 굽힘파(825.04 Hz) 사이 존재하나, 수중 상태에서는 13차 굽힘파(685.53 Hz)와 14차 굽힘파(808.91 Hz) 사이에 존재하게 된다. 이는 앞서 언급한 바와 같이 종파의 경우 주변 유체에 대한 영향이 거의 없고 굽힘파가 주변 유체에 영향을 많이 받기 때문이다.
마지막 영향은 전파속도의 변화이다. 접수로 인한 굽힘파의 cut-on frequency 감소는 전체적인 분산선도의 변화를 가져오며, 이로부터 동일한 단면 모드를 가지는 파동이라도 물속에 있는 경우 동일한 주파수에서 더 느린 속도로 전파된다는 사실을 확인할 수 있다. 즉, 13차 굽힘파를 기준으로 900 Hz에서 공기 중의 경우에는 6.1 rad/m, 수중의 경우에는 10.5 rad/m의 파수를 지는데 파수는 전파속도의 역수에 비례하므로 동일한 파동이라도 수중의 경우가 더 느린 전파속도를 가짐을 확인할 수 있다.
- 3.4 주변 유체의 음향 분산선도
3.3절에서는 원통형 실린더의 관점에서 구조물에 존재하는 파동의 특성과 접수의 영향을 분산선도를 통해 확인해보았다. 이 절에서는 원통형 실린더의 진동으로 방사되는 주변의 음압을 이용하여 주변 유체의 분산특성을 추정하였다. 구조물의 경우 분산특성을 파악하기 위해 분산선도 구하여 존재하는 파동의 종류와 전파속도 등을 고찰하였다. 구조물 주변 음압의 경우에는 강제진동으로 인한 음압의 응답을 색의 명도로 표현하는 분산도표를 구하여 분산특성을 파악하였다. 이때 구조물과 주변 유체 공간에 존재하는 응답을 측정하는 점 사이의 반경방향 거리를 1 m, 3 m, 5 m로 증가함에 따라서 주변 유체의 분산도표가 어떻게 변화하는지 살펴보았다.
Fig. 7 은 공기 중에 있는 원통형 실린더의 진동으로 방사되는 음압을 이용하여 나타낸 음향 분산도표이며, Fig. 8 은 수중에 있는 원통형 실린더의 진동으로 방사되는 음압을 이용하여 나타낸 음향 분산도표이다. Fig. 7 Fig. 8 에 나타낸 음향 분산선도는 흰색에 가까울수록 응답의 크기가 큼을 의미하며 검정색에 가까울수록 응답이 0에 가까움을 의미한다. 이러한 음향 분산도표는 공기 중 또는 수중 상태의 원통형 실린더의 분산선도와 거의 유사한 형태로 나타나나, 주변 유체의 음속에 해당하는 파수가 추가적으로 직선의 형태로 나타나고 있는 것을 확인할 수 있다. 거리에 따른 음향 분산도표의 변화를 살펴보면, 주변 유체가 공기일 경우에는 거리의 증가에 따른 파동의 차이가 거의 나타나지 않는 것을 살펴볼 수 있다. 반면, 주변유체가 물인 경우에는 거리가 증가함에 따라 음압의 크기 뿐 아니라 주변 유체의 음속에 해당하는 파수보다 더 큰 파수, 즉 주변 유체보다 더 느린 전파속도를 가진 근접파(near-field wave)는 방사되지 못하고 소멸되는 것을 확인할 수 있다.
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Variation of the acoustic dispersion diagrams in the air with the radial distance
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Variation of the acoustic dispersion diagrams in the water with the radial distance
4. 결 론
- 4.1 해석모델
이 논문에서는 접수된 원통형 실린더 구조물에 존재하는 파동의 분산 특성을 고찰하여 접수의 효과를 중점적으로 분석하였다. 이를 위하여 도파관 유한요소법과 경계요소법을 사용하여 접수 여부에 따른 원통형 실린더의 분산선도를 추정하였다. 이때 분산선도는 비 접수의 경우는 고유치문제를 해석하여 얻었고, 접수된 경우는 강제진동 해석과 공진점을 찾는 후처리 과정을 통해 얻었다. 또, 방사 음장의 분산특성을 구하기 위해 방사면으로부터 반경방향 거리를 변경하여 음향 분산 특성의 변화를 고찰하였다. 이상의 연구를 통해 확인한 결론은 다음과 같다.
(1) 원통형 실린더 내 파동은 원주방향의 모드 형상 별로 종파 및 비틀림파, 굽힘파의 형태로 전파된다. 분산선도 상에 종파와 비틀림파는 일정한 전파속도를 갖는 직선의 형태로 나타나며 굽힘파는 주파수에 따라 전파속도가 변하는 곡선의 형태로 나타남을 확인하였다.
(2) 분산선도 상의 각 파동은 원주방향의 모드 및 전파 형태에 따라 다른 cut-on 주파수를 가지는데, 원통형 실린더 외부의 물은 이러한 파동의 cut-on 주파수를 변화시킨다. 굽힘파의 경우 접수의 영향으로 cut-on 주파수가 크게 감소하는 반면, 종파와 비틀림파의 cut-on 주파수는 접수 후에도 거의 영향을 받지 않음을 확인하였다.
(3) 원통형 실린더의 접수 영향으로 굽힘파의 cut-on 주파수만 감소됨에 따라 종파와 굽힘파 그리고 비틀림파와 굽힘파 사이 파동의 cut-on 순서가 뒤바뀌게 되는 사실을 확인하였다.
(4) 음향 분산도표 상에는 구조 분산선도의 파동뿐 아니라 주변 유체의 전파속도에 해당하는 파동이 추가적으로 나타나는 것을 확인하였다. 또한 구조물과 음향 측정점 사이 거리를 늘려가며 분산도표의 변화를 확인한 결과, 공기 중 음향 분산도표는 거리에 따른 변화가 거의 없으나 수중 음향 분산선도는 거리가 증가함에 따라 물의 전파속도보다 느린 파동인 근접파가 사라지는 것을 확인하였다.
Acknowledgements
이 연구는 국방과학연구소 위탁 과제(계약번호 UD120002DD)의 연구비 지원으로 수행되었습니다. 그리고, 이 연구에 WFE/BE 해석 프로그램의 사용을 허락한 University of Southampton의 Institute of Sound and Vibration (ISVR)에 감사를 전합니다.
BIO
Byung-Kyoo Jung is received B.S. and M.S. degrees from Pusan National University in 2010 and 2012. He is Ph.D. student of the School of Mechanical Engineering in Pusan National University. His research interests are in the area of finite/boundary element analysis of noise and vibration and fluid-structure interactions.
Chinsuk Hong received B.S. in mechanical engineering and an M.S. in dynamic and vibration from Youngnam University, Korea, in 1988 and 1991, respectively. He worked for the Naval System Development center in Agency Defense Development(ADD), Korea, for 12 years form 1991. He then joined the Institute of Sound and Vibration Research(ISVR), University of Southampton, UK, in 2003, to pursue his Ph.D. He received the Ph.D. in sound and vibration, in 2005, He was then with ISVR as a research fellow until 2006. After 3 years research work at Pusan National University, Korea, from 2006, he is now with Naval Architecture and Ocean Engineering, Ulsan College from 2009. His research interests include active noise and vibration control, flow-induced noise and underwater shock response analysis.
Jungsoo Ryue graduated with a B.Sc in Mechanical Engineering from Pusan National University in 1995. He took the M.Sc degree in KAIST and received his second M.Sc and Ph.D. in ISVR at University of Southampton in UK. He has been working for School of Naval Architecture and Ocean Engineering in University of Ulsan as an assistant professor since 2009. His research interest includes wave propagation along waveguide structures, vibro-acoustic problems and related signal processing
Weui-Bong Jeong is received B.S. and M.S. degrees from Seoul National University in 1978 and from KAIST in 1980, respectively. He then received his Ph.D. degree from Tokyo Institute of Technology in 1990. Dr. Jeong is currently a professor at the department of mechanical engineering at Pusan National University in Busan, Korea. His research interests are in the area of the measurement and signal processing, finite/boundary element analysis of noise and vibration, fluid-structure interactions and acoustics-structure interactions.
Ku-Kyun Shin received Ph.D. in Naval Architecture at Pusan National University in 1991. He works at ADD as Principal Researcher. His research interests are hydroacoustics, self noise in sonar system and propeller noise.
References
Park Y. J. , Kim S. J. , Han K. H. , Lee Y. S. 2003 A Study on the Modal Characteristics of Submerged Cylindrical Shell Transactions of the Korean Society for Noise and Vibration Engineering 284 - 285
Sohn J. W. , Kwon O. C. , Choi S. B. 2009 Modal Characteristics and Vibration Control of Cylindrical Shell Structure : Experimental Results Comparison in the Air and Water Transactions of the Korean Society for Noise and Vibration Engineering 19 (9) 899 - 906    DOI : 10.5050/KSNVN.2009.19.9.899
Han S. J. , Lee J. J. , Kang M. H. 2014 Prediction of Total Acoustic Radiation Power of the Submerged Circular Cylindrical Structures Transactions of the Korean Society for Noise and Vibration Engineering 24 (11) 876 - 882    DOI : 10.5050/KSNVE.2014.24.11.876
Nilsson C. M. , Finnveden S. 2008 Waves in Thin Walled Fluid-filled Ducts with Arbitrary Cross-sections Journal of Sound and Vibration 310 (1) 58 - 76    DOI : 10.1016/j.jsv.2007.07.081
Ryue J. 2010 A Numerical Method for Analysis of the Sound and Vibration of Waveguides Coupled with External Fluid The Acoustic Society of Korea 29 (7) 448 - 457
Nilsson C. M. , Jones C. , Thompson D. , Ryue J. 2009 A Waveguide Finite Element and Boundary Element Approach to Calculating the Sound Radiated by Railway and Tram Rails Journal of Sound and Vibration 321 (3-5) 813 - 836    DOI : 10.1016/j.jsv.2008.10.027
Finnveden S. , Nilsson C. M. 2007 Input Power to Waveguides Calculated by a Finite Element Method Journal of Sound and Vibration 305 (4) 641 - 658    DOI : 10.1016/j.jsv.2007.04.025
Ryue J. , Thompson D. , White P. R. 2007 Wave Propagation in Railway Tracks at High Frequencies Proceedings of the 9th International Workshop on Railway Noise Munich, Germany 440 - 446