Advanced
Analysis of Linear Span of Non-linear Binary Sequences with Decimation d=2m-2(2m+3)
Analysis of Linear Span of Non-linear Binary Sequences with Decimation d=2m-2(2m+3)
Journal of the Korea Institute of Information and Communication Engineering. 2014. Mar, 18(3): 609-616
Copyright © 2014, The Korea Institute of Information and Commucation Engineering
This is an Open Access article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution Non-Commercial License(http://creativecommons.org/li-censes/by-nc/3.0/) which permits unrestricted non-commercial use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.
  • Received : December 05, 2013
  • Accepted : January 10, 2014
  • Published : March 31, 2014
Download
PDF
e-PUB
PubReader
PPT
Export by style
Share
Article
Author
Metrics
Cited by
TagCloud
About the Authors
지미 임
Department of Applied Mathematics, Pukyong National University, Busan, 608-737, Korea
성진 조
Department of Applied Mathematics, Pukyong National University, Busan, 608-737, Korea
sjcho@pknu.ac.kr
한두 김
Department of Applied Mathematics, Inje University, GimHae, 621-749, Korea
석태 김
Department of Information and Communication Engineering, Pukyong National University, Busan, 608-737, Korea

Abstract
선형스팬이 클수록 예측을 어렵게 하기 때문에 선형스팬을 크게 하는 것은 보안 및 암호 시스템에서 중요한 문제 이다. 낮은 상관함숫값을 가지면서 큰 선형스팬을 가지는 비선형 이진수열에 대한 연구는 계속 이루어져 왔다. 본 논문에서는 n =2 m 이고 데시메이션이 d =2 m-2 (2 m +3)인 비선형 이진수열 에 대한 선형스팬을 분석한다.
Keywords
Ⅰ. 서 론
최대 주기를 갖는 수열에 대한 연구는 Niho [1] , Helleseth [2] , Rosendahl [3] 등 여러 연구자에 의해서 이루어져 왔다 [4 - 7] . 특히 Niho는 주기가 2 2m −1인 수열에서 d ≡ 1 (mod 2 m −1)을 만족하는 데시메이션(decimation) d 값을 다루는 방법을 연구했다. 낮은 자기상관함숫값 또는 상호상관함숫값을 가지면서 선형스팬이 큰 비선형 이진수열들은 통신 및 암호시스템에서 활용되고 있다 [8 , 9] . 디지털 통신 시스템에서 다중접속간섭(Multiple Access Interference)을 최소화하기 위해서 낮은 상관함숫값을 갖는 이진 의사난수열의 설계는 중요한 문제이다 [10] . 그리고 선형스팬이 클수록 현재의 값으로 다음 값을 알아내기는 어려워지므로 보안 및 암호시스템에서 활용되고 있다. 위성통신의 다원 접속 방식의 하나인 스팩트럼 확산 다원접속(spread-spectrum multiple-access)통신 시스템에서는 낮은 상관함숫값과 선형스팬이 큰 값을 갖는 코드수열을 사용한다 [11 , 12] . Bent 수열 [13 , 14] , Gold 수열 [15 , 16] , Kasami 수열 [17 , 18] 등은 낮은 상관함숫값을 가지는 동시에 낮은 수치의 선형스팬을 갖는다. No 수열은 낮은 수치의 선형스팬을 갖는 이진수열을 보완하여 GMW 수열의 선형 스팬보다 큰 값을 갖는다 [19] . 이진수열의 최소다항식의 차수를 선형스팬이라고 정의하는데 최소다항식을 구하기는 쉽지 않다. 그래서 Key [20] 는 선형스팬을 구하는 좀 더 편리한 방법을 제시하였다. 본 논문은 2장에서 유한체를 기반으로 한 배경지식을 소개하고 [21] 3장에서 데시메이션이 d =2 m-2 (2 m +3)인 비선형수열
PPT Slide
Lager Image
의 선형스팬을 분석한다. 그리고 4장에서는 결론을 맺는다.
Ⅱ. 배경 지식
k | l 을 만족하는 k,l ∈N에 대하여 다음과 같이 정의되는 함수
PPT Slide
Lager Image
를 트레이스(trace) 함수라고 한다.
PPT Slide
Lager Image
트레이스 함수는 이진의사난수열을 생성하는 도구이고 많은 이진수열들이 트레이스 함수에 의해 정의되었다.
트레이스 함수에 의해 정의된 수열들Table. 1Sequences defined by trace function
PPT Slide
Lager Image
트레이스 함수에 의해 정의된 수열들 Table. 1 Sequences defined by trace function
f ( x )가 GF (2)위에서 n 차 기약다항식이고 s 가 양의 정수라 하자. 수열
PPT Slide
Lager Image
( i ≥ 0인 정수, α f ( x )의 원시근)와
PPT Slide
Lager Image
에 대하여 수열 b 는 수열 a s -데시메이션이라고 한다.
<예제 1> 기약다항식 f ( x ) = x 4 + x +1에 대한 수열은 a = (000100110101111)이다. 수열 a 의 3-데시메이션은 b = (01111)이고, 7-데시메이션은 c = (011110101100100)이다.
LFSR 수열 a 에 대하여 a 의 최소다항식의 차수를 선형스팬(linear span)이라고 한다. 그러나 수열 a 의 최소다항식을 구하기는 쉽지 않다. Key [20] 는 주기가 2 n −1인 GF (2)위에서의 수열 a =( ai )의 선형스팬을 구하는 방법을 정리 2와 같이 제시하였다.
[정리 2]
PPT Slide
Lager Image
( cj GF (2), α는 GF (2 n )의 원시원소)에 대하여 수열 a =( ai )의 선형스팬 L 은 다음과 같다.
PPT Slide
Lager Image
<예제 3> GMW 수열
PPT Slide
Lager Image
에서 α t = x 라 두면
PPT Slide
Lager Image
이다. 따라서 수열 ( at )의 선형스팬은 12이다.
[정리 4] GMW 수열의 선형스팬 LS
PPT Slide
Lager Image
이다. w ( r )은 r 의 이진표현에서 1의 개수이다.
<예제 5> α GF (2 6 )의 원시원소일 때, GMW 수열
PPT Slide
Lager Image
의 선형스팬은
PPT Slide
Lager Image
이다.
Ⅲ.의 선형스팬 분석
n = 2 m , d = 2 m−2 (2 m +3)일 때 비선형수열
PPT Slide
Lager Image
를 다음과 같이 정의한다.
PPT Slide
Lager Image
선형스팬 분석을 위해
PPT Slide
Lager Image
를 전개하여 항의 개수를 조사한다. α = δγ ( δ 2m−1 = 1, γ 2m+1 = 1)라 두면 (5)가 성립한다.
PPT Slide
Lager Image
δ t γ −2m−1t = x γt = y 라 두면 (5)는 (6)과 같다.
PPT Slide
Lager Image
여기서 g ( y ) = y 2 m + ay 2m−1+1 + ay 2m−1−1 +1 이다.
(6)으로부터 (4)는 (7)과 같다.
PPT Slide
Lager Image
δty −2m−1 = x y −2m−1(2m−1) = x 2m−1 가 된다.
PPT Slide
Lager Image
이므로
PPT Slide
Lager Image
이다. 따라서
PPT Slide
Lager Image
이다. 여기서 cl GF (2 m )이다.
[보조정리 6] xr · 2j1 [ g ( y )] r ⋅ 2j1 xr · 2j2 [ g ( y )] r ⋅ 2j2 의 전개식에서 x 의 지수는 다르다. 단, 0 ≤ j 1 < j 2 m −1이다.
<증명> xr · 2j1 [ g ( y )] r ⋅ 2j1 xr · 2j2 [ g ( y )] r ⋅ 2j2 의 전개식에서 x 의 지수가 같다고 하자. j = j 2 j 1 (0 < j m −1)라 두면 (10)이 성립한다.
PPT Slide
Lager Image
(10)의 양변에 2 m (2 m +1)을 곱하면
PPT Slide
Lager Image
이고 (2 j − 1) r ≡ 0 (mod 2 m − 1)이다. gcd( r , 2 m − 1)이므로 2 j − 1 ≡ 0 (mod 2 m − 1)이다. 이것은 모순이므로 xr · 2j1 [ g ( y )] r ⋅ 2j1 xr · 2j2 [ g ( y )] r ⋅ 2j2 의 전개식에서 x 의 지수들은 서로 다르다.
보조정리 6에 의해서
PPT Slide
Lager Image
의 선형스팬은 [ g ( y )] r 의 전개식에서 항들의 개수의 m 배이다. 분석의 편의를 위 하여 [ g ( y )] r 대신 [ y 3 + ay 2 + ay +1] r 의 항의 개수를 구하 여 m 배를 하면
PPT Slide
Lager Image
의 선형스팬의 하한값을 구할 수 있다. 이제는 G ( y ) = [ y 3 + ay 2 + ay +1] r 라 두고 r 을 (12)와 같이 나타내고 (13)을 만족하는 경우로 제한하자.
PPT Slide
Lager Image
  • ·R:r의 이진 전개에서 블록들의 수
  • ·Lj:j번째 블록의 길이
  • ·ej:j번째 블록에서 가장 낮은 2의 지수
PPT Slide
Lager Image
(12)에 의해서
PPT Slide
Lager Image
이다. 여기서
PPT Slide
Lager Image
이다.
gj ( y ) = [ y 3⋅2ej + a 2ej y 2⋅2ej + a 2ej y 2ej +1] rj 라 두면 gj ( y )에서 y 의 지수는 2 ej 의 배수이며 0이상 3⋅2 ej rj 이하이다.
PPT Slide
Lager Image
이므로 G ( y )의 전개식에서 생길 수 있는 y 의 지수들은
PPT Slide
Lager Image
와 같은 형태이다. 여기서 aj gj ( y )에서 선택된 항의 y 의 지수이다. (13)에 의해서
PPT Slide
Lager Image
이므로 0 ≤ aj ≤ 3⋅2 ej rj < 2 ej+1 이다. 2 ej | aj 이므로
PPT Slide
Lager Image
이다.
PPT Slide
Lager Image
라 두고
PPT Slide
Lager Image
이면 aj = bj 임을 증명하자. 가정에 의해서
PPT Slide
Lager Image
이다. 0≤ | ui vi | ≤ 3 rj < 2 Lj+2 ≤ 2 ej+1ej 이므로 (16)이 0이되기 위해서는 먼저 u 1 = v 1 이다. 같은 방법에 의해서 uj = vj (1 ≤ j R )이어야 한다. 따라서
PPT Slide
Lager Image
PPT Slide
Lager Image
가 같으려면 aj = bj (1 ≤ j R )이어야 한다. 이 결과에 의해서 G ( y )의 전개식에서의 y 의 서로다른 지수들의 개수를 M 이라 하고 gj ( y )에서의 y 의 서로 다른 지수들의 개수를 Mj 라고 하면
PPT Slide
Lager Image
이다.
세 가지 경우로 나누어 M 에 대하여 알아보자.
(a) a = 0인 경우:
z = y 2ej 라 두면
PPT Slide
Lager Image
이고 Mj = rj + 1 이므로
PPT Slide
Lager Image
이다. 그러므로 a =0인 경우
PPT Slide
Lager Image
의 선형스팬은 m ⋅2 w(r) 이고 GMW 수열의 선형스팬과 같다.
(b) a = 1인 경우:
z = y 2ej 라 두면
PPT Slide
Lager Image
이다. (18)을 전개하여 정리하면 (19)와 같다.
PPT Slide
Lager Image
여 기 서 A 0 = 1,
PPT Slide
Lager Image
,
PPT Slide
Lager Image
,
PPT Slide
Lager Image
이다. (19)의
PPT Slide
Lager Image
에서는 모두 Bk = 0이다. 따라서 (18)을 전개했을 때 항의 개수는 rj +1개가 되어 Mj = rj +1 이다. 따라서
PPT Slide
Lager Image
이다. 그러므로 a = 1인 경우
PPT Slide
Lager Image
의 선형스팬은 m ⋅2 w(r) 이고 GMW 수열의 선형스팬과 같다.
(c) a≠0, a≠1인 경우:
z = y 2ej , η = a 2ej 라 두면
PPT Slide
Lager Image
이다. (21)을 인수분해하면
PPT Slide
Lager Image
단, δ + δ −1 = ƞ +1이다. (22)를 전개하여 정리하면 (23)과 같다.
PPT Slide
Lager Image
여기서 A 0 = 1,
PPT Slide
Lager Image
,
PPT Slide
Lager Image
,
PPT Slide
Lager Image
이다. Ak 를 계산하면 (24)와 같다.
PPT Slide
Lager Image
(24)의 분자를 정리하면
PPT Slide
Lager Image
이다. Ak = 0이기 위해서는 δ k+1 = 1 또는 δ k+2 = 1이다. 따라서 Ak = 0가 되는 개수는
PPT Slide
Lager Image
이다. 이제는 Bk = 0가 되는 k 의 개수의 최댓값을 알아보자. Cu = Cv 라고 하면 (26)과 같다.
PPT Slide
Lager Image
(26)을 인수분해하면 ( δu + δv )( δ uv−2 +1) = 0이다. u + v = ri −1이면 δ u+ v+2 ≠ 1이다. 따라서 δu = δv 이고 u = v 이다. Bk = B k+1 + Ck + C rj−1−k 이고 Ck C = 0 rj−1−k 이므로 Bk = 0 이면 B k+1 ≠ 0이다.
따라서
PPT Slide
Lager Image
는 연속해서 0이 될 수 없다. 그러므로 (23)의
PPT Slide
Lager Image
Bk = 0이 되는 개수를 최대로 계산하면
PPT Slide
Lager Image
개이다. (27)을 Pj 라 두면
PPT Slide
Lager Image
gj ( z )에서 없어지는 항들의 개수는 2 Pj 을 넘지않는다. 따라서 다음이 성립한다.
PPT Slide
Lager Image
[보조정리 7] [22] 다음 두 집합은 일대일대응 이다.
PPT Slide
Lager Image
PPT Slide
Lager Image
여기서 α GF (2 n )의 원시원소이다.
보조정리 7에서 γ =0인 경우는 a =1인 경우에 해당되고 γ =1인 경우는 a =0인 경우에 해당되므로 (20)과 (17)에 의해서 GMW 수열의 선형스팬과 같다. 따라서 γ ≠0, γ ≠1인 γ 에 대하여 두 가지 경우로 나누어 선형스팬을 생각하자.
(a) y 2 + γy +1 = 0( γ GR (2 m )∖{0,1})가 GF (2 m )에서 해를 가지는 경우 : 보조정리 7에 의해서 해는 δ = αh (2 m +1) (1 ≤ h ≤ 2 m−1 −1)의 형태이다. 먼저 (31)을 구해보자.
PPT Slide
Lager Image
δ k+1 = ( α h(2m+1) ) k+1 = α h(k+1)(2m+1) = 1 이므로 h ( k +1)≡0 (mod2 m −1)이다. g =gcd( h , 2 m −1)라 두면
PPT Slide
Lager Image
이다. 그러면 자연수 l 이 존재하여 (32)를 만족한다.
PPT Slide
Lager Image
그런데 k +1≤ rj +1 이므로
PPT Slide
Lager Image
이다. l 은 자연수이므로
PPT Slide
Lager Image
이다. 같은 방법으로 (34)도 구할 수 있다.
PPT Slide
Lager Image
rj =2 Lj −1이므로 (27), (28), (33), (34)에 의해서
PPT Slide
Lager Image
의 선형스팬 lspan 은 (35)를 만족한다.
PPT Slide
Lager Image
(b) y 2 + γy +1=0( γ GF (2 m )∖{0,1})가 GF (2 m )에서 해를 가지지 않는 경우 : 보조정리 7에 의해서는 해는 δ = αh (2m−1) (1 ≤ h ≤ 2 m−1 )의 형태이다. (a)와 같은 방법으로 선형스팬 lspan 은 (36)을 만족한다.
PPT Slide
Lager Image
지금까지의 결과로 정리 8을 얻는다.
[정리 8] γi GF (2 m ∖{0}에 대하여 y 2 + γiy +1=0가 GF (2 m )에서 해를 가지면 i =−1라 하고 해를 가지지 않으면 i =+1이라고 하자. 그리고 γi 에 대하여 δi 를 (30)의 집합 K 에 있는 y 2 + γiy +1=0의 근이라고 하자. 그러면 (37)이 성립하고
PPT Slide
Lager Image
gi = gcd( hi , 2 m + i )라 두면
PPT Slide
Lager Image
의 선형스팬 lspan 은 (38)을 만족한다.
PPT Slide
Lager Image
지금부터는
PPT Slide
Lager Image
의 선형스팬과 GMW 수열의 선형스팬을 비교해보자.
먼저 (35)의 경우를 생각해보자.
(a) m 이 짝수인 경우:
PPT Slide
Lager Image
이다.
PPT Slide
Lager Image
이라고 하자.
이 때, h ≤ 2 m−1 −1 < 2 m −1 이므로
PPT Slide
Lager Image
이다. y 2 + γy +1 = 0( γ GR (2 m )∖{0,1})가 GF (2 m )에서 해를 가지므로 δ = α h(2m+1) 이고 δ 3 = 1이다. 그러면 γ = 1이 된다. 따라서
PPT Slide
Lager Image
이다.
PPT Slide
Lager Image
이므로
PPT Slide
Lager Image
이다. 따라서 (39), (40)이 성립한다.
PPT Slide
Lager Image
PPT Slide
Lager Image
PPT Slide
Lager Image
(39), (40), (41)에 의해서 (42)가 성립한다.
PPT Slide
Lager Image
(b) m 이 홀수인 경우:
PPT Slide
Lager Image
이므로 (39), (40), (41)이 성립하고 따라서 (42)가 성립한다. 유사한 방법으로 (36)의 경우도 (42)가 성립한다.
이상으로
PPT Slide
Lager Image
의 선형스팬은 a ≠0, a ≠1인 경우에 GMW 수열의 선형스팬보다 크다는 것을 보였다.
표 2
PPT Slide
Lager Image
의 선형스팬 및 발생빈도 실험결과이다. 실제 결과는 a ≠0,인 모든 경우에 GMW 수열의 선형스팬보다 크다는 것을 알 수 있다.
의 선형스팬 및 발생빈도Table. 2Linear Span and Frequency of
PPT Slide
Lager Image
의 선형스팬 및 발생빈도 Table. 2 Linear Span and Frequency of
Ⅳ. 결 론
본 논문에서는 데시메이션이 d =2 m−2 (2 m +3)인 비선형수열
PPT Slide
Lager Image
의 선형스팬에 대하여 분석하였다. 분석을 용이하게 하기 위하여 [ y 2m + ay 2m−1+1 + ay 2m−1−1 +1] r 대신 [ y 3 + ay 2 + ay +1] r 을 전개하였고 r e j+1 ej + Lj +2을 만족하도록 제한하였다. 그 결과 a =0 또는 a =1인 경우를 제외한 a 에 대하여 GMW 수열의 선형스팬보다 크다는 것을 증명하였다. 실제로
PPT Slide
Lager Image
의 선형스팬을 구한 결과는 a =0을 제외한 모든 경우에 대하여 GMW 수열의 선형스팬보다 크다. 앞으로 선형스팬에 대한 연구가 활발히 이루어져야 하겠다.
BIO
임지미(Ji-Mi Yim)
1997년: 부산대학교 수학교육과 (이학사)
2008년: 부경대학교 교육대학원 수학과 석사
2008년∼현재: 부경대학교 응용수학과 박사과정
※ 관심분야 : 셀룰라 오토마타론, 정보보호
조성진(Sung-Jin Cho)
1979년 2월 강원대학교 수학교육과 졸업 (이학사)
1981년 2월 고려대학교 대학원 수학과 졸업(이학석사)
1988년 2월 고려대학교 대학원 수학과 졸업(이학박사)
1988년∼현재: 부경대학교 응용수학과 교수
※ 관심분야 : 셀룰라 오토마타론, 정보보호
김한두(Han-Doo Kim)
1982년: 고려대학교 수학과 졸업 (이학사)
1984년: 고려대학교 대학원 수학과 졸업 (이학석사)
1988년: 고려대학교 대학원 수학과 졸업 (이학박사)
1989년∼현재: 인제대학교 응용수학과 교수, 기초과학연구소
※ 관심분야 : 전산수학, 셀룰라 오토마타론
김석태(Seok-Tae Kim)
1983년: 광운대학교 전자공학과 (공학사)
1988년: Kyoto Institute of Technology 전자공학과(공학석사)
1991년: Osaka대학 통신공학사(공학박사)
1991년∼현재: 부경대학교 정보통신공학과 교수
※ 관심분야 : 영상처리, 패턴인식, 워터마킹, 셀룰라 오토마타론
References
Niho Y. 1972 “Multi-valued cross-correlation functions between two maximal linear recursive sequences”, Ph.D thesis University of Southern California
Helleseth T. 1976 “Some results about the cross-correlation function between two maximal linear sequences” Discrete Mathematics http://dx.doi.org/10.1016/0012-365X(76)90100-X 16 (3) 209 - 232    DOI : 10.1016/0012-365X(76)90100-X
Rosendahl P. 2004 “Niho type cross-correlation functions and related equations”, Ph.D thesis Turku centre for computer science
Tang X.H. , Helleseth T. , Hu L. , Jiang W. 2009 “Two new families of optimal binary sequences obtained from quaternary sequences” IEEE Trans. Inf. Theory http://dx.doi.org/10.1109/TIT.2008.2008136 55 (4) 433 - 436    DOI : 10.1109/TIT.2008.2008136
Zeng F.X. , Zhang Z.Y. 2008 “Several Families of Sequences with Low Correlation and Large Linear Span” IEEE Trans. Fundamentals http://dx.doi.org/10.1093/ietfec/e91-a.8.2263 E91-A 2263 - 2268    DOI : 10.1093/ietfec/e91-a.8.2263
Schmidt K.-U. 2009 “Z4-valued quadratic forms and quaternary sequence families” IEEE. Trans. Inf. Theory http://dx.doi.org/10.1109/TIT.2009.2032818 55 (12) 5803 - 5810    DOI : 10.1109/TIT.2009.2032818
Udaya P. , Tang X.H. 2013 “On the Construction of Binary Sequence Families With Low Correlation and Large Sizes” IEEE. Trans. Inf. Theory http://dx.doi.org/10.1109/TIT.2012.2219691 59 (2) 1082 - 1089    DOI : 10.1109/TIT.2012.2219691
Helleseth T. , Kumar P.V. , Pless V. , Huffman C. 1998 “Sequences with low correlation” Elsevier Amsterdam, The Netherlands
Simon M.K. , Omura J.K. , Scholtz R.A. , Levitt B.K. 1985 “Spread spectrum communication” Computer Science Press Rockville, MD
Fazel K. , Kaiser S. 2003 “Multi-carrier and spread spectrum system” John Wiley and Sons Ltd.
Sarwarte D.V. , Pursley M.B. 1980 “Crosscorrelation properties of pseudorandom and related sequences” Proc. IEEE http://dx.doi.org/10.1109/PROC.1980.11697 68 (5) 593 - 620    DOI : 10.1109/PROC.1980.11697
Scholtz R.A. 1982 “The origins of spread-spectrum communications” IEEE Trans. Commun. COM-30 822 - 854
Kumar P.V. , Scholtz R.A. 1983 “Bounds on the linear span of bent sequences” IEEE Trans. Inform. Theory IT-29 (6) 854 - 862
Olsen J.D. , Scholtz R.A. , Welch L. R. 1982 “Bent-function sequences” IEEE Trans. Inform. Theory IT-28 (6) 858 - 864
Gold R. 1968 “Maximal recursive sequences with 3-valued recursive crosscorrelation functions” IEEE Trans. Inform. Theory IT-14 (1) 154 - 156
Gold R. 1967 “Optimal binary sequences for spread spectrum multiplexing” IEEE Trans. Inform. Theory IT-13 (5) 619 - 621
Kasami T. 1966 “Weight distribution formula for some class of cyclic codes” Coordinated Science Laboratory, University of Illinois Urbana
Kasami T. 1969 “Weight distribution of Bose-Chaudhuri-Hocquenghem codes in Combinatorial Mathematics and its Applications” University of North Carolina Press Chapel Hill, NC
No J.S. , Kumar P.V. 1989 “A New Family of Binary Pseudorandom Sequences Having Optimal Periodic Correlation Properties and Large Linear Span” IEEE Trans. Inform. Theory http://dx.doi.org/10.1109/18.32131 35 (2) 371 - 379    DOI : 10.1109/18.32131
Key E.L. 1976 “An analysis of the structure and complexity of non-linear binary sequence generators” IEEE Trans. Inform. Theory IT-22 732 - 736
Lidl R. , Niederreiter H. 1997 “Finite fields” Cambridge University Press
Cho S.J. , Yim J.M. 2011 “Analysis of binary sequences generated by GMW sequences and No sequences” Journal of the Korea Institute of Information and Communication Engineering http://dx.doi.org/10.6109/jkiice.2011.15.10.2181 15 (10) 2181 - 2187    DOI : 10.6109/jkiice.2011.15.10.2181