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Harmonic and Interhamonic Detection and Estimation of Power Signal using Subband MUSIC/ESPRIT
Harmonic and Interhamonic Detection and Estimation of Power Signal using Subband MUSIC/ESPRIT
The Transactions of The Korean Institute of Electrical Engineers. 2015. Jan, 64(1): 149-158
Copyright © 2015, The Korean Institute of Electrical Engineers
This is an Open-Access article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution Non-Commercial License (http://creativecommons.org/ licenses/by-nc/3.0/)which permits unrestricted non-commercial use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.
  • Received : September 24, 2014
  • Accepted : December 04, 2014
  • Published : January 01, 2015
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About the Authors
훈 최
Dept. of Electronics Eng., Dongeui Univ., Korea
현 덕 배
Corresponding Author : School of Electrical Eng., Chungbuk National Univ., Korea E-mail :hdbae@cbnu.ac.kr

Abstract
This paper proposes a subband filtering technique to the MUSIC and the ESPRIT algorithm for estimating the magnitude and frequency of the harmonics of power signal. In proposed method, the input power signal is decomposed to the odd harmonics and the even harmonics respectively by the filter bank system. The amplitude and the frequency estimation of the decomposed harmonics are carried out using the MUSIC and the ESPRIT method. Subband filtering can reduce the autocorrelation matrix size of input data, and spectrum leakage between adjacent harmonics. Therefore, this subband technique has advantage in computational cost and estimation accuracy compared to fullband MUSIC and ESPRIT. To demonstrate the performance of the method, computer simulations are performed to the synthesized input signal, and experiment results are compared in subband and fullband cases.
Keywords
1. 서 론
최근 전력 시스템에서 비선형 부하 및 시변 부하의 광범위한 사용 증가가 전력품질에 영향을 주는 전력 외란(sag, swell, harmonics, transient 등)을 증가시키고 있다. 다양한 외란들 가운데에서, 고조파 성분들은 시스템의 오동작을 일으키고, 전기 장치들을 과열시키며, 전력 시스템에서 기기의 수명을 단축시키기도 한다. 따라서 고조파의 정확한 검출은 전력품질 모니터링에 있어서 중요한 과제 중 하나이다 [1 - 3] .
고조파 검출에는 비 파라미터 (non-parametric) 방법과 파라미터(parametric) 방법이 있으며, 일반적으로 신호의 모델이 적절하게 선택 될 경우 파라미터 방법이 비 파라미터 방법들에 비해 높은 주파수 해상도를 가지므로 고조파 검출에서 우수한 성능을 보이는 것으로 알려져 있다. 가장 잘 알려진 비 파라미터 방법은 이산 푸리에 변환(DFT : Discrete Fourier Transform)에 기반한 기법들이다. 이 방법들은 정제적(stationary) 신호 환경에서는 매우 유용한 방법이나, 비정제적(non-stationary) 신호 환경에서는 스펙트럼 누설(spectrum leakage)과 에일리어징 효과(aliasing effect)의 영향으로 고조파 검출 성능이 저하된다. 그리고 DFT와 같은 비 파라미터 기법은 고조파에 비해 크기가 상대적으로 작은 중간고조파(inter-harmonic)검출에서는 스펙스럼 누설의 영향으로 검출 정확도가 매우 떨어진다 [2 , 3] .
파라미터(parametric)방법에서는 MUSIC(Multiple Signal Classification)과 ESPRIT(Estimation of Signal Parameters via Rotational Invariance Techniques) 가 대표적이며 전력 시스템의 고조파 추정에 있어서 유용하게 사용된다. MUSIC 알고리즘은 잡음 공간을 기반으로 하고 ESPRIT 알고리즘은 신호 공간을 기반으로 하는 방법이다. 이 두 방법들은 전력 신호에 고차의 고조파 성분들이 포함된 경우 고조파 검출에서 매우 큰 크기의 입력신호 자기 상관 행렬(autocorrelation matrix)을 필요로 한다. 그리고 고조파의 크기와 주파수 추정에 있어 고조파에 비해 크기가 큰 기본파의 간섭을 줄이기 위해 고역 통과 필터(high pass filter)와 대역 저지 필터(band stop filter)를 필요로 하는 전 처리(preprocessing) 과정이 요구된다. 이러한 이유로 MUSIC과 ESPRIT은 고조파 추정에서 데이터 블록이 요구되는 일괄 처리(batch processing) 기법으로 간주된다 [2] .
본 논문에서는 기존의 MUSIC 과 ESPRIT 알고리즘의 성능을 개선하기 위해 부밴드(subband) 필터링 기법을 적용한다. 이 방법에서는 모듈 형식으로 설계된 필터 뱅크시스템이 입력 전력 신호를 분해한다. 높은 차수의 고조파를 분해하기 위해 기본 필터 뱅크 모듈이 전체 필터 뱅크 시스템의 각 단(stage)에 사용된다 [4 - 6] . 필터 뱅크 시스템을 이용 전력 신호를 분해하며 분해된 부밴드 신호인 기본파와 각 고조파의 크기 및 주파수 추정은 MUSIC과 ESPRIT를 이용하여 수행한다. 각각의 부밴드 성분에 대해서 MUSIC과 ESPRIT를 적용하게 되면 전밴드 기법에서의 행렬 연산을 벡터 연산으로 대체할 수 있다 [7] . 그러므로 전밴드 전력신호에 MUSIC과 ESPRIT를 적용하는 기존 방법보다 전력신호를 부밴드로 분해하여 처리하는 제안된 방법에서 계산의 복잡성이 줄어든다. 만일 기본 필터 뱅크 모듈을 우수와 기수 고조파를 각각 분해할 수 있게 설계 한다면, 인접한 고조파 간의 스펙트럼 누설을 줄일 수 있어 고조파의 크기와 주파수 추정 정확도를 향상 시킬 수 있다. 제안 방법의 성능과 타당성을 검증하기 위해 정현 신호 모델을 이용한 합성 신호에 대해 컴퓨터 시뮬레이션을 수행하고자 한다.
2. MUSIC/ESPRIT을 이용한 전력신호 고조파 크기와 주파수 추정
전력신호 데이터 해석을 위한 신호처리 기법 중의 하나인 파라미터 방법에서는 신호가 특정 모델로부터 만들어 질 수 있다는 것이며, 대표적 모델로는 정현(sinusoidal) 모델과 AR(autoregressive) 모델이 있다. 전력 시스템과 같이 정상 상태 왜곡이 발생하는 곳에서는 신호 모델로 정현 모델이 사용된다. 정현 모델에서 신호 크기와 주파수 같은 파라미터 추정에 사용되는 방법으로 MUSIC, ESPRIT 그리고 칼만(Kalman) 필터 등이 있다 [2 , 3] .
샘플된 전력신호의 정현모델은 K 개의 정현 성분과 잡음의 합으로 다음과 같이 표현이 가능하다.
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여기서 αk 는 각 정현 성분의 크기, ωk = 2 πfk 는 라디안으로 표현한 고조파 주파수, ϕk 는 초기 위상이고 ω ( n )은 잡음 신호이다. 전력신호 정현모델은 복소 지수형식으로 표현이 가능하며 다음과 같다.
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여기서 Ak = | Ak | ejϕk k 차 고조파 성분의 복소 크기이며 αk = 2| Ak |이다. 식(1)과 식(2)의 정현 모델은 신호 s ( n )과 잡음성분의 합으로 표현이 가능하며 다음과 같다.
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전력신호 정현모델에서 기본파 주파수는 ω 0 = ω 1 이며 ωk = kωo ( k =2, 3, ⋯ )는 k 차 고조파의 주파수이다.
- 2.1 MUSIC
MUSIC 기법은 정현 모델을 이용하여 신호 고조파의 크기와 주파수를 추정하는 방법이며, 특히 이 알고리즘은 잡음 부공간 (noise subspace)에 기반 하는 기법이다 [2 , 3] . 식 (1)의 신호에 길이 M 의 윈도우(window)를 적용한 데이터 벡터는 ν ( n ) = [ ν ( n ) v ( n +1) ... ν (n+ M −1)] T 으로 표현이 가능하므로 식(1)의 벡터 형식은 다음과 같다.
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정현모델 식 (1)에서 주어진 데이터 ν ( n )의 길이가 L= N+M−1 일 때 데이터의 행렬식은 식 (5)와 같이 표현이 가능하며, 이 데이터 행렬의 자기상관 행렬 Rν 는 식 (6)과 같이 추정이 가능하며, 행렬의 크기는 N × M 이 된다. 여기서 M ν ( n ) 에 의해 생성된 공간의 차원이며, K 는 신호에 포함된 고조파의 수로서 신호 부 공간의 차원이다. 고조파 추정을 위해서 K 보다 M 이 커야 한다.
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신호에 포함된 잡음을 백색 잡음(white noise)으로 가정할 경우 추정된 자기상관 행렬 Rν 는 다음과 같이 표현할 수 있다.
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여기서
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는 잡음 전력이며 행렬 E A 는 다음과 같다.
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여기서 el = [1 ejωl ej2ωl e j(M−1)ωl ] T (l = 1, 2, ⋯, K ) 이며 Rs 의 고유 벡터(eigen vector)이다. 그리고 자기상관 행렬 Rν 는 고유값(eigenvalue) λi 와 이에 해당하는 고유 벡터 (eigen vector) qi 를 이용하여 Rνqi = λiqi 이므로 다음과 같이 표현할 수 있다.
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여기서 Qs = [q1, q2, ⋯ qK] ,Qω = [qk+1 qK+2qM] 이다.
MUSIC 기법에서 고조파의 주파수는 다음과 같은 가상스펙트럼(pseudospectrum)의 K 개의 최고값들로 부터 구할 수 있다.
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여기서 qi 는 잡음부공간과 관련이 있는 고유벡터이며, 신호 고유벡터 e = [1 e e j2ω e j(M−1)ω ] T 와 직교한다.
그리고 고조파의 크기는 식 (7)과 식 (10)을 이용하여 다음 식으로부터 추정이 가능하다.
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- 2.2 ESPRIT
ESPRIT은 MUSIC과 마찬가지로 정현 모델을 사용하는 신호부 공간을 기반으로 하는 방법이다 [2 , 3] . 신호의 정현 모델에서 신호는
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으로 표현 가능하므로 이 표현식의 벡터형식은 다음과 같다.
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여기서 W = [ e 1 e 2 e k ]이고 A =[ A 1 , A 2 AK ] T 이며,
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이다.
한 샘플 시간 이동된 신호는
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으로 표현이 되므로 이 신호의 벡터 표현 식은 다음과 같다.
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식 (13)의 자기 상관행렬과 식 (13)과 식 (14)의 상호 상관행렬은 다음과 같이 표현 가능하다.
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신호 공간(signal space)에서 고유치 λi 와 고유벡터 ui 를 이용 일반화된 고유치문제(generalized eigenvalue problem)를 적용하면
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의 관계가 만족된다. 이 관계를 다시 정리하면 다음과 같다.
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식 (16)으로부터 고조파의 주파수 ωi 는 다음과 같이 결정된다.
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주파수를 구하고 난 후 고조파의 크기를 구하는 과정은 앞에서의 MUSIC 기법과 동일하다.
3. 부밴드 기법을 적용한 MUSIC/ESPRIT
전력신호 고조파와 중간고조파 추정에서 정현 신호모델을 이용하는 MUSIC과 ESPRIT기법은 전력신호에 고차의 고조파와 중간고조파가 포함된 경우 각 고조파의 주파수와 크기추정에서 매우 큰 크기의 행렬과 벡터가 필요하게 된다. 이러한 점을 개선하기위해 전력신호를 필터뱅크를 이용 분해할 경우 분해된 각 부밴드(subband) 신호에는 전밴드(fullband)신호에 비해 포함된 고조파의 수가 줄어들게 되므로 부밴드 신호 고조파의 주파수와 크기 추정에 요구되는 행렬과 벡터의 크기가 줄어드는 이점이 있으며, 인접한 고조파 간의 스펙트럼 누설의 영향도 줄일 수 있어 추정 정확도를 높일 수 있다 [5 , 6] . 만약 전력신호를 분해함에 있어 각 부밴드에 하나의 고조파만을 위치하도록 필터뱅크를 설계할 경우 고조파의 주파수와 크기 추정에서 정확도를 상당히 개선할 수 있다.
본 논문에서는 전력신호 분해를 위해 기본필터뱅크(fundamental filter bank)를 설계하고 이를 연속적으로 종속접속하는 필터뱅크 시스템을 설계한다. 분해된 각 부밴드 신호에 MUSIC과 ESPRIT기법을 적용하여 고조파 와 중간고조파의 주파수와 크기를 추정한다. 기본필터뱅크는 QMF(Quadrature Mirror Filter)를 이용하여 설계한다 [4] .
- 3.1 필터뱅크시스템 설계
기본 필터뱅크는 신호의 완전 복원 특성의 QMF를 이용 분해 필터와 합성필터로 구성된다. 그렇지만 전력신호 고조파 추정에서는 신호의 합성과정이 요구되지 않는다. 즉 QMF 뱅크가 요구 되지 않지만, QMF 뱅크를 기본필터뱅크로 반복적으로 사용하는 2진 트리구조(binary tree structure)로 필터뱅크시스템을 설계하면 신호의 다 해상도분해가 가능하다. 기본 필터뱅크 구조는 그림 1 과 같다. 기본 필터뱅크에서는 샘플링 주파수를 적절히 조절하여 홀수 고조파는 저역 통과 필터와 고역 통과 필터의 통과 대역 중앙에 위치하며, 짝수 차의 고조파는 저역통과 필터와 고역통과 필터의 경계 영역에 위치하게 한다. 그리고 짝수 고조파 분해를 위하여 대역 통과 필터를 이용한다.
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기본 필터뱅크 Fig. 1 Fundamental filter bank
그림 1 에서 x ( n )은 입력 전력신호, yL ( n )은 저역통과 데시메이션(decimation) 신호, yH ( n )는 고역통과 데시메이션 신호이며, yB ( n )는 대역통과 신호이다. 그리고 HLP ( z )와 HHP ( z )는 각각 저역통과 필터, 고역통과 필터이며 HBP ( z )는 대역 통과 필터이다. 3개의 필터는 저지대역 감쇠 특성을 크게하여 에일리어싱(aliasing) 효과를 최소화 하도록 설계한다. 필터 출력 yL ( n ), yH ( n )과 yB ( n )의 Z -변환은 다음과 같이 표현된다.
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그림 1 의 기본 필터뱅크 입력신호 x ( n )에 3개의 고조파(기본 파, 2고조파, 3고조파)만 포함된 경우 yL ( n )은 기본파, yH ( n )은 제3고조파, yB ( n )은 제2고조파의 출력이 가능하다. 기본필터뱅크에서 11차의 IIR 필터로 설계한 각 필터의 주파수 응답은 그림 2 와 같다.
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기본 필터뱅크의 주파수 응답 Fig. 2 Frequency response of fundamental filter bank
전력신호 분해를 위한 필터뱅크시스템은 기본필터뱅크를 반복적으로 사용하여 쉽게 구현이 가능하며, 이를 이용 하여 신호의다 해상도(multi-resolution) 분해가 가능하다. 기본 필터 뱅크의 블록도와 이것의 등가적 표현이 그림 3 이다 [7] .
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기본 필터뱅크의 등가 블록 Fig. 3 Equivalent block diagram of fundamental filter bank
그림 3 의 기본필터뱅크 블록을 이진트리 구조로 종속접속한 전체 필터뱅크시스템의 블록도는 그림 4 와 같다.
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기본 필터뱅크를 이용한 필터뱅크시스템(S=3) Fig. 4 Filter bank system using fundamental filter banks(S=3)
그림 4 의 필터뱅크시스템에서 부밴드의 개수를 R 이라 하고, 분해 단(stage)의 수를 S 로 정의하면 R S R =2 S+1 −1 의 관계가 성립한다. 또한 저역에서 고역까지 순서대로 각 부밴드의 출력신호를 hi ( i = 1, 2, ⋯, R )로 표현 한다. 각 부밴드에서 추정 가능한 고조파의 주파수와 크기는 각각 fi , ai 이다. 입력 신호 x ( n )는 필터 뱅크 시스템에 의해 부밴드로 분해되며, 이때 필터 뱅크 각 부밴드의 출력과 입력은 다음의 관계가 있다 [4 , 7] .
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이러한 구조는 전 대역 신호를 저주파대역과 고주파대역에서 균일하게 분해한다는 의미에서 이산 웨이브렛 패킷 변환(discrete wavelet packet transform)과도 유사하다 [4 , 5] . S =3 일 때, 필터뱅크시스템의 전체 주파수응답 특성은 그림 5 과 같다.
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필터뱅크시스템의 주파수응답(S=3) Fig. 5 Frequency response of filter bank system(S=3)
- 3.2 부밴드 MUSIC (SMUSIC)
필터뱅크시스템을 이용하여 전력신호를 부밴드로 분해하면 인접 고조파 간의 간섭이 줄어들어 MUSIC알고리즘의 고조파 추정 정확도를 개선시킬 수 있다. 그리고 필터뱅크시스템을 통해 부밴드로 고조파가 분해되면 전밴드에 비해 각 부밴드에 위치한 고조파의 개수가 줄어들게 되며, 이는 상관행렬의 랭크(rank)의 감소로 이어져 전밴드 MUSIC의 문제점인 입력신호 자기 상관 행렬 크기를 줄일 수 있다.
이러한 장점을 이용하기 위해 본 논문에서는 필터뱅크시스템으로 분해된 부밴드 신호에 MUSIC기법을 적용하는 부밴드MUSIC (Subband MUSIC)기법인 SMUSIC알고리즘을 제안하고자 한다. 필터뱅크시스템에서 샘플링 주파수를 분해하고자 하는 최대 차수 고조파 주파수의 두 배로 하면 정규화된 주파수(normalized frequency) ω =1이 최대 차수 고조파의 주파수가 되므로 샘플링 주파수를 적절히 조절하여 각 부밴드에 하나의 고조파가 위치하도록 할 수 있다. 따라서 MUSIC 기법에서 K 개의 고조파와 잡음의 합으로 구성된 입력 신호인 정현 모델 식 (1)이 SMUSIC기법에서는 다음과 같이 표현이 가능하다.
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K 개의 고조파와 잡음의 합으로 된 표현식이 하나의 고조파와 잡음의 합이 된다. MUSIC에서의 크기가 M × M 인 입력신호 자기상관 행렬 Rν 는 부밴드의 수만큼 랭크가 감소한 Ms × Ms 크기의 자기 상관 행렬 Rνk 가 되며, 다음의 관계가 있다.
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여기서 Ms νk ( n )에 의해 생성된 공간의 차원 수이며 S 은 필터뱅크시스템의 단의 수이다. 따라서 식 (7)의 자기 상관 행렬은 신호 νk ( n )에 대한 자기 상관 행렬로 바뀌게 되며 다음과 같다.
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식 (24)에서 ek 는 다음과 같이 정의 된다.
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그리고
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이다. 자기상관 행렬 Rνk 가 고유값 λi 와 고유벡터 qi Rνk qi = λiqi 로 표현가능 하므로 SMUSIC에서 고조파의 주파수는 식 (11)과 유사하게 다음 식과 같은 가상스펙트럼으로부터 구할 수 있다.
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식 (26)을 이용하여 고조파 주파수 ωk = 2 πfk ( k =1,2, ⋯ K )를 구할 수 있으며, 구해진 주파수 ωk 를 이용하여 고조파의 크기는 식 (12)와 유사하게 다음과 같이 구할 수 있다.
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- 3.3 부밴드 ESPRIT(SESPRIT)
분해된 각 부밴드 전력신호에 ESPRIT를 적용하면 부밴드 ESPRIT인 SESPRIT알고리즘을 유도할 수 있다. SESPRIT에서 식(13)의 신호벡터는 sk ( n )으로 대체할 수 있으며 다음과 같이 표현할 수 있다.
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여기서 ek 는 다음과 같이 정의 된다.
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시간 이동된 신호 sk ( n +1)은 식 (14)와 유사하게
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이므로 식 (15)의 자기 상관행렬과 상호 상관 행렬은 다음과 같이 표현될 수 있다.
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식 (30)을 이용 식 (16)과 같은 일반화된 고유치 문제를 적용 하면 식 (16)은 SESPRIT에서 다음과 같이 표현할 수 있다.
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식 (31)로부터, 각 고조파의 주파수 ωi 를 다음 식으로 찾을 수 있다.
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주파수를 구하고 난 후 고조파의 크기는 SMUSIC 기법과 같은 방법으로 구할 수 있다.
이 장에서 유도한 부밴드 알고리즘과 기존의 전밴드 알고리즘을 계산량 측면에서 비교해보면 다음과 같다. MUSIC에서 고조파 주파수를 구하기 위해 식 (11)이 SMUSIC에서는 식 (26)이 사용된다. MUSIC에서는 고조파 주파수 계산에 M−K +2개의 잡음 부공간과 연관된 고유벡터와 길이 M 인 신호 고유벡터 K 개가 필요하다. 반면에 SMUSIC에서는 각 부밴드에서 Ms −1개의 잡음 부공간 고유벡터와 길이 Ms 인 신호고유벡터 1개가 요구된다. 따라서 주파수 연산식 벡터의 요소(element)들이 실수라고 가정하면, MUSIC의 경우 K 개의 고조파 주파수 계산에 근사적으로 K ( M 2 +1)번의 곱셈이 필요하며, SMUSIC에서는 근사적으로
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번의 곱셈이 요구되므로 계산량 측면에서 SMUSIC이 유리하다. 고조파 크기 계산에서는 식 (12)와 식 (27)로부터 MUSIC의 경우는 길이 M 의 벡터연산이 K 번, SMUSIC의 경우에는 길이 Ms 의 벡터연산이 K 번 필요함을 알 수 있다. 그리고 ESPRIT의 경우는 고조파 주파수 계산(식 (17))에 필요한 고유값을 구하기 위해 M × M 크기의 행렬 연산이 요구되지만 SESPRIT의 경우는 고조파 주파수를 구하기 위한 고유값 계산에 Ms × Ms 크기의 행렬연산이 필요함을 알 수 있다. 이상으로부터 부밴드 알고리즘이 전밴드 알고리즘에 비해 계산량에서 장점이 있음을 알 수 있다.
4. 컴퓨터 모의실험
필터뱅크시스템을 이용한 SMUSIC과 SESPRIT의 고조파 추정 성능을 전밴드 MUSIC, ESPRIT과 비교 하기위해 정현 모델로 합성된 신호를 입력으로 하여 Matlab을 이용 컴퓨터 모의실험을 통해 평가한다.
입력 신호는 식 (1)의 정현신호 모델을 사용하며, 기본 주파수는 60Hz이고 샘플링 주파수는 1.92kHz이다. 샘플링 주파수를 1.92kHz로 하면 분해가능한 최대 고조파의 차수는 16차이며 기본파의 정규화된 주파수는 ω = 0.0625가 되므로 그림 4 의 필터 뱅크시스템에서 h 1 으로 검출이 가능하다. 기본 필터 뱅크의 각 필터는 11차 IIR 타원 필터를 사용하며, 필터 뱅크 시스템은 3단으로 설계하였고 S =3이다. 윈도우의 길이는 전밴드일 때 M =1,920이 되며, 부밴드 일 때 Ms =128이다. 입력 신호의 고조파 레벨은 표 1 과 같으며 유럽 기준 EN50160 [1 , 2] 를 따른다. 그림 6 은 기본파를 제외한 고조파의 합성 신호이다.
고조파 전압의 전형적인 크기Table 1Typical levels of harmonic voltage magnitude
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고조파 전압의 전형적인 크기 Table 1 Typical levels of harmonic voltage magnitude
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합성된 입력 신호 Fig. 6 Synthesized input signal
- 4.1 전밴드 MUSIC과 SMUSIC의 고조파 추정 성능 비교
- 4.1.1 홀수 및 짝수 고조파 합성 신호에 대한 고조파 추정
SMUSIC의 고조파 크기와 주파수 추정 성능을 검증하기 위해 입력 전력 신호로 표 1 과 같은 고조파 레벨로 홀수 고조파와 짝수 고조파를 함께 합성하였다. MUSIC과 SMUSIC의 고조파 추정 결과는 표 2 와 같다. 표 2 의 결과로부터 제안한 SMUSIC 기법의 고조파 추정결과가 MUSIC에 비해 정확함을 알 수 있다. 특히 짝수 고조파의 경우 전밴드 알고리즘 MUSIC으로 검출하게 되면 인접한 크기가 큰 홀수 고조파의 영향을 받아 검출의 정확도가 떨어짐을 알 수 있다. 이에 비해 고조파들을 필터뱅크시스템으로 분해 하여 추정하는 SMUSIC의 경우는 인접고조파에 의한 스펙트럼 누설의 영향이 작아 짝수 고조파에 대해 향상된 추정 정확도를 보이고 있음을 알 수 있다.
기수 및 우수 고조파의 크기와 주파수 추정 결과Table 2Amplitude and frequency estimation results of odd and even harmonics
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기수 및 우수 고조파의 크기와 주파수 추정 결과 Table 2 Amplitude and frequency estimation results of odd and even harmonics
그림 7 에서는 표 2 의 추정 결과를 이용 복원된 신호와 입력신호를 보인다. 그림 7 로부터 MUSIC과 SMUSIC 모두에서 입력신호의 추정이 가능함을 알 수 있다. 두 기법의 추정 정확도를 비교하기 위해 입력 신호와 각각의 복원 신호의 오차를 비교한 것이 그림 8 이다. 그림 8 에서 SMUSIC의 복원신호 오차가 MUSIC에 비해 작아 SMUSIC의 고조파 추정 정확도가 우수함을 알 수 있다.
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입력신호와 복원된 신호의 비교 (a) 입력신호, (b)MUSIC을 이용한 복원신호, (c)SMUSIC을 이용한 복원신호 Fig. 7 The input and reconstructed signals comparison (a) Input signal (b) Reconstructed signal using MUSIC (c) Reconstructed signal using SMUSIC
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MUSIC과 SMUSIC을 이용한 복원 오차 비교 Fig. 8 The reconstructed error comparison between MUSIC and SMUSIC
- 4.1.2 고조파와 중간고조파 합성 신호에 대한 고조파, 중간고조파 추정
중간 고조파는 정수배 고조파들 사이의 주파수 대역에 위치하고 그 크기가 매우 작아 검출에 어려움이 따른다. 상대적으로 크기가 큰 고조파가 중간 고조파의 검출에 영향을 주기 때문이다. 고조파와 중간고조파를 합성하여 시뮬레이션 수행 하였으며, 고조파와 중간 고조파의 진폭과 주파수의 합성 레벨과 추정 결과는 표 3 과 같다.
고조파와 중간고조파의 크기 및 주파수 추정 결과Table 3Amplitude and frequency estimation results of harmonics and interharmonics
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고조파와 중간고조파의 크기 및 주파수 추정 결과 Table 3 Amplitude and frequency estimation results of harmonics and interharmonics
표 3 에서 알 수 있듯이 중간 고조파와 짝수 고조파의 추정 성능이 SMUSIC이 MUSIC에 비해 우수하다. 특히, 중간 고조파 IH2 의 경우 그 크기가 커 인접한 짝수 고조파의 추정에 어려움을 주고 있다. 특히 4차 고조파의 경우 MUSIC에서의 추정 성능이 크게 떨어지나, SMUSIC의 경우 스펙트럼 누설 영향이 작아 추정 결과가 정확함을 알 수 있다. 그림 9 표 3 의 결과를 이용하여 복원한 신호와 입력 신호를 비교한 그림이다.
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입력신호와 복원된 신호의 비교 (a) 입력신호, (b)MUSIC을 이용한 복원신호, (c) SMUSIC을 이용한 복원신호 Fig. 9 The input and reconstructed signals comparison (a) Input signal, (b) Reconstructed signal using MUSIC, (c) Reconstructed signal using SMUSIC
그림 9 에서 알 수 있듯이, MUSIC과 SMUSIC 모두 입력 신호를 어느 정도 잘 추정할 수 있음을 보인다. 그리고 두 기법의 추정 정확도 비교를 위해 그림 10 에서 입력 신호와 각 기법의 복원 결과의 오차를 보인다.
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MUSIC과 SMUSIC을 이용한 복원 오차 비교 Fig. 10 The reconstructed error comparison between MUSIC and SMUSIC
그림 10 으로 부터 SMUSIC이 MUSIC 보다 추정 성능이 좋음을 알 수 있으며, 그 차이가 그림 8 에 비해 큰 이유는 짝수 고조파와 중간 고조파의 추정 오차가 MUSIC에서 크기 때문이다.
- 4.2. 전밴드 ESPRIT과 SESPRIT의 고조파 추정 성능 비교
MUSIC, SMUSIC의 고조파 추정 성능비교와 유사하게 ESPRIT과 SESPRIT의 성능을 비교 평가하기위해 정현모델을 이용하여 합성된 입력신호에 대하여 컴퓨터 시뮬레이션을 수행 하였다.
- 4.2.1 홀수와 짝수 고조파 합성 신호에 대한 고조파 추정
ESPRIT과 SESPRIT의 성능을 비교 검증하기 위해서 홀수 및 짝수 고조파를 2∼13차까지 12개의 고조파를 이용 입력신호를 합성하였으며 그 크기는 표 1 과 같게 하였다. 표 4 는 합성 신호에 대한 ESPRIT과 SESPRIT의 고조파 크기와 주파수 추정 결과 이다.
기수 및 우수 고조파의 크기와 주파수 추정 결과Table 4Amplitude and frequency estimation results of odd and even harmonics
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기수 및 우수 고조파의 크기와 주파수 추정 결과 Table 4 Amplitude and frequency estimation results of odd and even harmonics
표 4 에서 SESPRIT의 경우가 ESPRIT에 비해 크기가 작은 짝수 고조파의 추정에 있어서 정확도가 우수함을 알 수 있다. 부밴드 기법의 적용으로 고조파 간의 스펙트럼에 의한 간섭이 줄어 추정 정확도가 개선되었기 때문이다.
그림 11 표 4 의 추정 결과를 이용해 복원된 신호와 입력 신호를 비교한 그림이다. ESPRIT과 SESPRIT간의 추정 정확도를 보다 자세히 비교하기 위하여 두 기법에 의해 복원된 신호와 입력신호와의 차를 나타낸 것이 그림 12 이다. 그림 12 로 부터 복원된 신호의 오차가 SESPRIT기법에서 ESPRIT에 비해 작음으로 고조파 추정 정확도에서 SESPRIT이 우수함을 알 수 있다.
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입력신호와 복원된 신호의 비교 (a) 입력신호, (b)ESPRIT을 이용한 복원신호, (c) SESPRIT을 이용한 복원신호 Fig. 11 The input and reconstructed signals comparison (a) Input signal, (b) Reconstructed signal using ESPRIT, (c) Reconstructed signal using SESPRIT
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ESPRIT과 SESPRIT을 이용한 복원 오차 비교 Fig. 12 The reconstructed error comparison between ESPRIT and SESPRIT
4.2.2 고조파와 중간고조파 합성 신호에 대한 고조파, 중간고조파 추정
MUSIC, SMUSIC 성능 비교에서와 동일하게 고조파와 중간 고조파를 합성한 신호에 대해서 ESPRIT과 SESPRIT의 고조파 추정 성능을 비교하였다. 실험 조건은 MUSIC, SMUSIC과 동일하며, 두 기법의 추정결과는 표 5 와 같다.
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표 5 에서 알 수 있듯이, SESPRIT이 ESPRIT에 비해 좋은 추정 성능을 보이고 있다. 특히, 중간 고조파와 짝수 고조파 추정에서 두 기법의 추정 정확도의 차이를 쉽게 확인할 수 있다. 그림 13 표 5 의 결과로 복원한 신호와 입력 신호를 비교한 그림이다.
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입력신호와 복원된 신호의 비교 (a) 입력신호, (b) ESPRIT을 이용한 복원신호, (c) SESPRIT을 이용한 복원신호 Fig. 13 The input and reconstructed signals comparison (a) Input signal, (b) Reconstructed signal using ESPRIT, (c) Reconstructed signal using SESPRIT
그림 13 에서 알 수 있듯이 ESPRIT과 SESPRIT에 모두 입력신호가 잘 추정됨을 알 수 있다. 추정 정확도를 보다 자세히 비교하기 위해 입력 신호와 두 기법에서 추정된 고조파를 이용 복원된 신호와의 차를 비교하였으며 그림 14 와 같다. 그림 14 로 부터 고조파와 중간고조파 추정에서도 SESPRIT의 정확도가 ESPRIT에 비해 우수함을 알 수 있다. 시뮬레이션을 수행한 4가지 실험결과로 부터 전밴드에 비해 부밴드 기법을 적용하는 알고리즘이 고조파 추정에서 우수한 성능을 가짐을 알 수 있다.
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ESPRIT과 SESPRIT을 이용한 복원 오차 비교 Fig. 14 The reconstructed error comparison between ESPRIT and SESPRIT
5. 결 론
전력신호의 고조파 추정 및 검출을 위하여 신호와 잡음 부 공간을 기반으로 하는 MUSIC과 ESPRIT에 부밴드 기법을 적용한 새로운 방법인 SMUSIC과 SESPRIT 기법을 본 논문에서 제안하였다. 이 기법에서는 기본필터를 연속적으로 사용하는 필터뱅크시스템을 설계하여 전력신호의 각 고조파 성분을 분해하였다. 고조파신호의 부밴드 분해를 통하여 고조파의 주파수와 크기의 추정에서 계산량을 줄일 수 있는 부밴드 알고리즘을 유도하였다. 또한 필터뱅크시스템을 이용 고조파를 부밴드 신호로 분해함으로써 인접 고조파 간의 스펙트럼 누설 영향을 줄일 수 있어 고조파의 크기와 주파수 추정에서 정확도가 향상됨을 시뮬레이션을 통해 검증하였다. 그리고 정현모델을 이용한 고조파와 중간 고조파 합성신호에 대해서도 고조파 추정결과를 이용 복원된 신호의 오차 비교를 통해 제안한 부밴드 기법이 기존의 전밴드 기법에 비해 우수한 성능을 보임을 입증하였다.
Acknowledgements
이 논문은 2013학년도 충북대학교 연구년제 지원에 의하여 연구되었음(This work was conducted during the reseach year of Chungbuk National University in 2013).
BIO
최 훈(Hun Choi)
1996년 충북대학교 전자공학과 졸업, 2001년 동 대학원 전자공학과 석사, 2006년 동 대학원 전자공학과 박사, 1995년 ~ 1998년 LG반도체, 2006년~2008년표준과학연구원 Post-Doc., 2008년 3월 ~ 현재 동의대학교 전자공학과 부교수
E-mail : hchoi@deu.ac.kr
배 현 덕(Hyeon-Deok Bae)
1977년 한양대학교 전자공학과 졸업, 1980년 서울대학교 전자공학과 석사, 1992년 동 대학원 전자공학과 박사, 1994년 ~ 1995년 : 미국 시라큐스 대학 전기컴퓨터공학과 방문 교수, 1987년 3월 ~ 현재 충북대학교 전자정보대학 전기공학부 교수
E-mail : hdbae@cbnu.ac.kr
References
1995 IEEE Std. 1159-1995, “IEEE Recommended Practice for Monitoring Electric Power Quality,”
Bollen M.H.J , Gu Irene Y. H. 2006 Signal Processing of Power Quality Disturbances Wiley-Interscience Hoboken, NJ.
Bollen M.H.J , Gu Irene Y. H. 2009 “Bridging the Gap between Signal and Power,” IEEE Signal Processing Magazine 26 (4) 12 - 31
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Barros J. , Diego R. I. 2008 “Analysis of Harmonics in Power Systems Using the Wavelet-Packet Transform,” IEEE Trans. on Instrumentation and Measurement 57 (1) 63 - 69    DOI : 10.1109/TIM.2007.910101
Sohn Sang-Wook , Choi Hun , Bae Hyeon-Deok 2009 “Detection and Tracking of Time Varying Power System Frequencies and Harmonics using Subband Adaptive Filtering,” The Trans. on the KIEE 58 (1) 679 - 687
Yun Jae-Jun , Lim Young-Bin , Lee Jeong-Kyu , Sohn Sang-Wook , Bae Hyeon-Deok 2011 “A Subband MUSIC/ESPRIT Technique for Estimating Harmonics in Power Signals,” Proceedings of I2MTC 2011 543 - 547